05. Visualisation des phénomènes aléatoires intervenant dans les mesures (suite)

le 04/01/2017

Le fichier proposé ici est une extension du fichier « Statistiques 1.3 » proposé précédemment (article 2 du 03/04/2016). Le principe est le même : on réalise des tirages de variables aléatoires selon la distribution choisie puis on compare les résultats expérimentaux aux valeurs théoriques.
La principale évolution réside dans le fait qu’il est à présent possible de simuler, en plus des lois normale et uniforme, des lois de distribution triangulaire et en dérivée d’arc sinus.
Une seconde amélioration propose de déterminer les bornes d’un intervalle de confiance à partir d’un niveau de confiance choisi. Son but est d’introduire une autre manière de détermination des EMT (erreurs maximales tolérées). En effet, plutôt que de partir d’une tolérance (parfois choisie arbitrairement), il possible de calculer une EMT à partir d’un niveau de confiance (autrement dit, du risque consenti).
Enfin, l’algorithme est un peu différent, conçu pour un nombre de simulations élevé.

Télécharger le fichier:

Statistiques 03.4

Sélectionner les paramètres de la loi de probabilité dans le pavé en haut à gauche de l’écran (distribution, moyenne, variation/écart-type, niveau de confiance et nombre de simulation), puis lancer une simulation en cliquant sur CALCULER. Observer les résultats présentés dans le tableau situé au-dessus du graphique.



04. Un biais dans l’écart-type !

le 17/05/2016

L’écart-type expérimental, estimateur non biaisé de l’écart-type théorique σ, est en réalité biaisé ! Étonnant, non ?
Comme je l’expose dans l’article « Biais d’un estimateur dit non biaisé« , ce biais est quantifiable dans le cas d’une distribution normale et décroit lorsque l’effectif augmente. De l’ordre de 25% pour 2 valeurs, il est inférieur à 1% au-delà de 30 valeurs.

Pour vous en convaincre, visualisez vous-même ce biais en téléchargeant le fichier ci-dessous:

Statistiques 02.0

Choisissez l’écart-type d’une variable aléatoire σ (par ex. σ = 1), l’effectif d’échantillon n (par ex. n = 3), puis le nombre d’itérations du calcul N (par ex. N = 5000). Le programme calcule N fois l’écart-type de n valeurs et renvoie la moyenne des N écart-types (écart-type expérimental moyen). Il suffit de constater que cet écart-type moyen est systématiquement inférieur à σ.

Note: plus N est grand, plus la valeur de l’écart-type moyen sera fiable, mais plus le temps de calcul sera long. Commencez à N = 1000, puis augmentez progressivement jusqu’à atteindre un rapport qualité / temps de calcul satisfaisant.

Le programme renvoie aussi les écarts-types moyens de n+1, n+2, n+3 et n+4 valeurs. De plus, le fichier produit les corrections à appliquer aux écarts-types expérimentaux pour atteindre σ, ainsi que la correction théorique proposée par le NIST (cf. cet article présentant la formule du facteur de correction du NIST).

Force est de constater que les données expérimentales collent, pour peu que N soit suffisamment élevé, au facteur théorique (noté 1/c4), démontrant par là même que ce biais est bien réel.

Suite à un commentaire éclairé relatif à ma publication LinkedIn, j’ai été amené à faire évoluer le fichier pour visualiser également le comportement de la variance, qui elle n’est pas biaisée.

Statistiques 02.1

Il suffit dans le cadre en haut à gauche de sélectionner « Ecart-type » ou « Variance » avant de lancer le calcul. Il apparaît alors clairement sur le graphe que l’écart-type est biaisé alors que la variance ne l’est pas.



03. Suivre la conformité d’un instrument

le 26/04/2016

Suivre un instrument de mesure dans le temps sans considérer les incertitudes de mesure peut conduire à des interprétations erronées. Le fichier proposé met en évidence cette réalité en tirant dans une loi normale des valeurs centrées sur la valeur vraie d’un mesurande (processus de mesure sans biais) avec une incertitude choisie. Selon les EMT (erreur maximale tolérée) saisie, la représentation graphique sans incertitudes peut laisser penser que l’instrument est instable, déviant, voire non conforme. Ce qui n’est pas le cas puisque les biais de mesure sont nuls, seuls les phénomènes aléatoires entrent en jeu dans le test.

Télécharger le fichier:

Statistiques 01.5

Dans le pavé supérieur gauche, sélectionner la valeur vraie, l’incertitude de mesure élargie et le nombre de répétitions de chaque mesure. Choisir le nombre de résultats souhaités dans le temps ainsi que l’EMT. Utiliser le bouton pour lancer le test. Il est intéressant d’observer les résultats sur le graphique lorsqu’on fait une seule mesure avec une incertitude proche de l’EMT, puis qu’on augmente le nombre de mesures.

La vidéo ci-dessous donne quelques explications complémentaires sur l’utilisation du fichier.



02. Visualisation des phénomènes aléatoires intervenant dans les mesures

le 03/04/2016

Le fichier proposé ici permet de générer des tirages de variables aléatoires normales ou uniformes et de comparer les résultats expérimentaux aux valeurs théoriques. Dans le cas de la mesure, la moyenne théorique représente la réalité inaccessible de la grandeur à mesurer; l’écart-type théorique représente quant à lui l’incertitude non élargie du processus de mesure.
Or ni l’un ni l’autre ne sont fiables lorsque le nombre de répétitions est faible. Le fichier Statistiques 1.3 permet d’expérimenter, de lancer des simulations avec un nombre de répétitions très faible afin de toucher du doigt la difficulté d’atteindre la valeur vraie d’un mesurande en réalisant peu de mesures.

Télécharger le fichier:

Statistiques 01.3

Sélectionner les paramètres de la loi de probabilité dans le pavé en haut en gauche de l’écran, puis lancer une simulation en fixant le nombre de répétitions. L’appui sur F9 relance une simulation. Observer les résultats présentés dans le tableau situé au-dessus du graphique.

La vidéo ci-dessous donne quelques explications complémentaires sur l’utilisation du fichier.



01. Loi de Poisson vs Loi de Gauss

le 23/02/2016

La loi de Poisson est une loi de probabilité discrète particulièrement utilisée pour décrire les évènements rares tel les phénomènes de désintégration radioactive.
La probabilité de réalisation de k occurrences d’un phénomène dont le nombre moyen d’occurrence est λ se traduit par:Loi de Poisson
La loi de Poisson présente la particularité d’avoir une espérance et une variance égales à λ.
Le fichier ci-dessous permet de saisir des valeurs entières de λ et d’observer ainsi que lorsque λ augmente (de 1 à 100), l’histogramme de la loi de Poisson converge vers une loi de Gauss d’espérance λ et de variance λ.

Télécharger le fichier:

Statistiques 00.2

L’intérêt pour la métrologie réside dans le fait qu’un phénomène obéissant à une loi de Poisson et d’occurrence moyenne suffisamment élevée suit également une loi normale et occupe donc les mêmes pourcentages de couverture d’environ 68, 95 et 99% correspondant respectivement à 1, 2 et 3 écarts-types.